Średnia roczna szkoda dla nieruchomości – przykład obliczeniowy

Definicja: model o czterech składowych

Średnia roczna szkoda (EAL), nazywana w modelowaniu katastroficznym average annual loss (AAL), to kwota, którą nieruchomość traci wskutek danego zagrożenia w przeciętnym roku, przy uwzględnieniu wszystkich możliwych zdarzeń i ich prawdopodobieństw. To na niej ubezpieczyciel opiera cenę, ponieważ składka jest wynagrodzeniem za przejęcie oczekiwanej straty wraz z jej niepewnością; ocena zagrożenia w skali od 0 do 100 jest rankingiem, a nie kwotą. EAL podaje się zwykle w dwóch postaciach: jako stawkę w promilach wartości ubezpieczanego mienia, niezależną od sumy ubezpieczenia, oraz w euro rocznie – a ta od niej zależy.

Każdy model katastroficzny dochodzi do niej przez te same cztery elementy: zagrożenie (jak intensywne jest tu dane ryzyko: głębokość wody, przyspieszenie gruntu, prędkość porywu wiatru), ekspozycję (co tu stoi i ile kosztuje odtworzenie), podatność (jaka część tej wartości ulega zniszczeniu przy danej intensywności – funkcja szkody) oraz krok finansowy (całkowanie po prawdopodobieństwie, przemnożenie przez wartość, zastosowanie udziałów własnych, limitów i narzutów). Z tego samego całkowania wynikają dwie dalsze wielkości. Probable maximum loss (PML, prawdopodobna szkoda maksymalna) to strata przy wybranej rzadkości zdarzenia, zwykle 1 na 100, 1 na 200 lub 1 na 500 lat, i to ją wycenia reasekurator. Składka techniczna to EAL powiększona o koszty, kapitał i niepewność modelu; jeden z silników obliczeniowych stosuje orientacyjny współczynnik 1,6.

Prawdopodobieństwo przewyższenia i okresy powrotu

Okres powrotu T nie jest harmonogramem, lecz prawdopodobieństwem. Zdarzenie o 100-letnim okresie powrotu ma roczne prawdopodobieństwo przewyższenia 1/T = 1%, a w ciągu 30-letniego kredytu hipotecznego szansa na wystąpienie co najmniej jednego takiego zdarzenia wynosi 1 − (1 − 0,01)^30, czyli około 26%. Urzędowe mapy zagrożenia powodziowego publikują zasięgi powodzi i głębokości wody dla zestawu okresów powrotu; tabela pokazuje wynikające z nich prawdopodobieństwa oraz reprezentatywną głębokość wody na obszarze zagrożenia powodziowego dla każdego okresu powrotu, stosowaną tam, gdzie nie ma głębokości dla konkretnego adresu.

Prawdopodobieństwa wynikają z arytmetyki; reprezentatywne głębokości pochodzą z tabeli głębokości projektowych Bytero, interpolowanej w log(T) między punktami węzłowymi.

Krzywe strat powodziowych

Krzywa strat powodziowych (krzywa zależności strat od głębokości zalania) odwzorowuje głębokość wody nad poziomem posadzki na tę część wartości odtworzeniowej budynku, która ulega zniszczeniu. Najczęściej cytowanym zbiorem ogólnoeuropejskim jest baza globalnych krzywych strat JRC 2017 (Huizinga, De Moel i Szewczyk), podająca krzywą dla każdego kontynentu i sposobu użytkowania budynku. Krzywe kalibrowane na odszkodowaniach dla budynków murowanych i wielkopłytowych leżą przy małych głębokościach znacznie niżej: niemiecka rodzina FLEMO, wyprowadzona z odszkodowań wypłaconych po powodzi na Łabie w 2002 roku, wskazuje mniej więcej 2 do 6% poniżej 21 cm, 6 do 9% przy 21 do 60 cm, 9 do 12% przy 61 do 100 cm, 12 do 17% przy 101 do 150 cm i 17 do 25% powyżej tej wartości – wyłącznie dla budynku. Powódź z września 2024 roku w Czechach kosztowała ubezpieczycieli około 19,7 mld CZK przy mniej więcej 100 000 szkód majątkowych, czyli około 5 do 8% typowej sumy ubezpieczenia na szkodę, a więc ten sam rząd wielkości.

Punkty węzłowe krzywych pochodzą z modelu strat Bytero (krzywe: mieszkaniowa, europejska JRC, komercyjna i przemysłowa); wartości JRC są zgodne z Huizinga i in. 2017. Wartości między punktami węzłowymi są interpolowane liniowo.

Budynek, wyposażenie i przerwa w działalności

Powyższe krzywe to krzywe dla budynku: opisują utraconą część wartości odtworzeniowej konstrukcji. Wyposażenie ubezpiecza się na odrębną sumę i według odrębnej krzywej, a przy małej głębokości zalania jest bardziej podatne, ponieważ meble, sprzęt i zapasy stojące na poziomie posadzki ulegają zniszczeniu na długo przed ścianami. Komercyjna i przemysłowa krzywa JRC włączają zapasy do wartości budynku, co jest jednym z powodów, dla których zaczynają się wyżej niż krzywa mieszkaniowa; model mieszkaniowy powinien trzymać te dwie sumy osobno, aby polisa obejmująca wyłącznie budynek nie była obciążana ryzykiem wyposażenia, którego nie ubezpiecza.

Przerwa w działalności (BI) to strata bez odpowiednika w ubezpieczeniach mieszkaniowych: utracony zysk brutto za czas, w którym lokal nie może działać. Polisy mieszkaniowe obejmują ją jedynie niewielkim podlimitem na zakwaterowanie zastępcze (w jednej z polis mieszkaniowych jest to 10 000 EUR). Przy ryzykach komercyjnych czas przestoju rośnie wraz z dotkliwością szkody. Model odtworzenia oparty na HAZUS, stosowany w jednym z silników obliczeniowych, zakłada 17, 22 i 26 miesięcy dla lokalu komercyjnego zalanego do 1,2 m, do 2,4 m i głębiej, 10, 14 i 18 miesięcy dla obiektu przemysłowego, 24 i 20 miesięcy przy szkodzie całkowitej, a odszkodowanie ogranicza do maksymalnego okresu przewidzianego w umowie, domyślnie 12 miesięcy. Podstawa ubezpieczeniowa celowo pomija odrabianie strat w gospodarce, które uwzględniają modele makroekonomiczne, ponieważ sklep pojedynczego ubezpieczonego i tak pozostaje zamknięty niezależnie od tego, co dzieje się w szerszej gospodarce. Ten sam model wycenia przestój po trzęsieniu ziemi na podstawie stopnia uszkodzenia: 0,3, 3, 9 i 12 miesięcy przy uszkodzeniu lekkim, umiarkowanym, rozległym i całkowitym lokalu handlowego.

Całkowanie po okresach powrotu

Samo obliczenie jest krótkie. Krzywą przewyższenia strat buduje się z okresów powrotu, przy których adres jest zalewany, ze stopnia uszkodzenia dla każdego z nich oraz z punktu suchego; pole pod tą krzywą na osi prawdopodobieństwa to oczekiwany roczny stopień uszkodzenia.

1. 1

   Wypisanie okresów powrotu, przy których adres jest zalewany

   Z urzędowych map lub z modelowanego rastra głębokości: na przykład zalanie od Q10 wzwyż, brak zalania przy Q5. Największy okres powrotu bez zalania kotwiczy krzywą w punkcie zerowego uszkodzenia: tutaj p = 1/5 = 0,2, uszkodzenie 0.

2. 2

   Odczyt głębokości wody dla każdego okresu powrotu

   Głębokość odczytana z rastra dla konkretnego adresu, jeśli raster jest dostępny; w przeciwnym razie reprezentatywna głębokość dla obszaru zagrożenia powodziowego przypisana do danego okresu powrotu, oznaczona w wyniku, aby odbiorca wiedział, na jakiej podstawie ją przyjęto.

3. 3

   Odjęcie wysokości posadzki

   Rastry głębokości mierzą wodę nad terenem, a krzywe strat odnoszą się do poziomu posadzki. Parter budynku mieszkalnego leży zwykle 0,30 do 0,45 m nad poziomem terenu, na cokole i progu, dlatego jeden z silników obliczeniowych odejmuje konserwatywne 0,25 m (0,10 m dla posadzek komercyjnych i przemysłowych położonych blisko terenu). Mieszkanie na drugim piętrze dodaje dwie kondygnacje po około 3 m i całkowicie wypada z całki powodziowej.

4. 4

   Zamiana głębokości na stopień uszkodzenia

   Interpolacja na krzywej strat właściwej dla sposobu użytkowania. Sposób użytkowania wybiera krzywą: mieszkaniowa murowana, komercyjna albo przemysłowa.

5. 5

   Całkowanie metodą trapezów na osi prawdopodobieństwa

   Posortowanie punktów według malejącego prawdopodobieństwa przewyższenia p i zsumowanie 0,5 × (uszkodzenie_i + uszkodzenie_i+1) × (p_i − p_i+1). Dodanie końcowego punktu przy p = 0 ze stopniem uszkodzenia najrzadszego zdarzenia, aby zdarzenia rzadsze niż najrzadszy zmapowany okres powrotu nie były po cichu traktowane jako nieszkodliwe.

6. 6

   Przemnożenie przez ekspozycję, a następnie kalibracja i narzut

   Wynikiem jest stawka na jednostkę wartości budynku. Po przemnożeniu przez wartość odtworzeniową staje się kwotą w euro rocznie; współczynnik doświadczenia szkodowego dla danego ryzyka dopasowuje model do obserwowanych odszkodowań; narzut zamienia go w składkę techniczną. PML dla zdarzenia 1 na 100 lat to po prostu stopień uszkodzenia przy Q100 pomnożony przez wartość.

Przykład obliczeniowy: dom na obszarze zagrożenia powodziowego od Q10 do Q500

Murowany dom o wartości odtworzeniowej 200 000 EUR stoi na obszarze szczególnego zagrożenia powodzią, który pozostaje suchy przy zdarzeniu 1 na 5 lat i jest zalewany od 1 na 10 lat wzwyż. Dla tego adresu nie ma rastra, obowiązują więc głębokości reprezentatywne, pomniejszone o próg posadzki 0,25 m. Tabela przechodzi przez sześć okresów powrotu i ogon rozkładu.

Wkłady zaokrąglono do dwóch miejsc dziesiętnych; niezaokrąglona suma wynosi 6,22‰. Krzywa i progi pochodzą z modelu strat Bytero.

Jak czytać przykład i co zmienia wynik

Zwracają uwagę trzy rzeczy. Częste zdarzenia o małej głębokości (od Q10 do Q50) dają 3,59‰ z 6,22‰, czyli 58% oczekiwanej straty, choć każde z nich powoduje niewielkie uszkodzenia; o oczekiwanej stracie decyduje to, co zdarza się często, a nie scenariusz najgorszy. Ogon powyżej Q500 dodaje tylko 0,44‰. PML jest zaś wielkością zupełnie innego rodzaju: przy Q100 strata z jednego zdarzenia wynosi 0,112 × 200 000 = 22 400 EUR, a przy Q500 – 44 000 EUR, czyli ponad siedem razy więcej niż oczekiwanie roczne. Tabela pokazuje dźwignie, które przesuwają wynik, policzone na tej samej krzywej.

Przeliczone na krzywej z przykładu; udział mieszkań, współczynnik kalibracyjny i próg odcięcia dla powodzi opadowej są stałymi modelu strat Bytero.

Od oczekiwanej straty do składki technicznej

W euro wariant bazowy to 6,22‰ × 200 000 EUR = 1 244 EUR rocznie przed kalibracją, 510 EUR po uwzględnieniu współczynnika 0,41 dla powodzi rzecznej i 816 EUR rocznie jako składka techniczna przy narzucie 1,6. Narzut ten pokrywa koszty akwizycji i administracji, koszt kapitału na ogon rozkładu oraz niepewność samego modelu; stawka zgłoszona do stosowania dodaje jeszcze marżę ubezpieczyciela i ewentualne subsydiowanie skrośne między ryzykami. Składka techniczna dla portfela to suma jego EAL pomnożona przez narzut i właśnie dlatego EAL na poziomie adresu jest budulcem obrazu całego portfela, a zagrożenie na poziomie adresu ma tak duże znaczenie: ten sam dom 40 m dalej od rzeki może znaleźć się poza zasięgiem powodzi Q100 i nieść dziesiątą część oczekiwanej straty.

Kalibracja jest tym, co odróżnia arytmetykę typu „zagrożenie razy podatność” od modelu, z którego może korzystać underwriter. Jedna z rekalibracji z 2026 roku zweryfikowała fizykę modelu na 993 nieruchomościach z rzeczywistymi składkami odtworzonymi z opublikowanych taryf i wykazała, że wcześniejszy cel krajowy na poziomie 0,60‰ rocznie był cztery do sześciu razy wyższy niż poziom wynikający z trzech niezależnych źródeł, a 45% nieruchomości miało EAL z tytułu katastrof naturalnych wyższą niż cała składka za wszystkie ryzyka, co jest strukturalnie niemożliwe. Naprawa polegała na skorygowaniu najpierw fizyki (krzywa dla budynków murowanych, próg posadzki, udział lokali na parterze), a następnie na zastosowaniu jednego współczynnika rezydualnego na ryzyko, wyprowadzonego z krajowych szeregów szkód i odszkodowań z rynków sąsiednich, a nie z samego modelu. Po rekalibracji średnia krajowa wyniosła 0,185‰ rocznie, mieszcząc się w niezależnie wyznaczonym przedziale 0,10 do 0,19‰, przeciętna EAL stanowiła 32% przeciętnej rzeczywistej składki, a mediana EAL wyniosła 17 EUR rocznie dla domu o wartości 193 000 EUR. Komercyjne modele katastroficzne różnią się między dostawcami dwu- do trzykrotnie na tym samym portfelu, więc wynik fizyczny mieszczący się w około 2,5-krotności niezależnych danych o szkodach jest normalnym punktem wyjścia, a nie porażką.

Bytero wylicza krzywą zagrożenia dla każdego ryzyka, całkę strat od głębokości, kalibrację na danych szkodowych i składkę techniczną dla pojedynczego adresu w opisany tu sposób, przy czym każda stała jest nazwaną wartością, którą underwriter może odczytać; produktem jest Bytero Shield, a dostępność według rynków opisuje strona zasięgu.

Pytania