Expected annual loss egy ingatlanra, számpéldával

Definíció: a négyrészes modell

Az expected annual loss (EAL, várható éves kár), amelyet a katasztrófamodellezők average annual lossnak (AAL) neveznek, az az összeg, amelyet egy ingatlan egy átlagos évben a veszély miatt várhatóan elveszít, minden lehetséges eseményt és annak valószínűségét figyelembe véve. A biztosító erre a számra áraz, mert a díj a várható kár és annak bizonytalansága viselésének ellenértéke; a 0-tól 100-ig terjedő veszélypontszám rangsor, nem pénz. Az EAL-t rendszerint kétféleképpen adjuk meg: a biztosított érték ezrelékében kifejezett rátaként, amely nem függ a biztosítási összegtől, és euró/év értékben, amely igen.

Minden katasztrófamodell ugyanazon a négy részen keresztül jut el hozzá: veszély (mennyire intenzív itt a veszélyforrás: vízmélység, talajgyorsulás, széllökés-sebesség), kitettség (mi áll itt, és mennyibe kerül újjáépíteni), sérülékenység (ebből az értékből mekkora hányad megy tönkre adott intenzitásnál – ez a kárfüggvény), és a pénzügyi lépés (integrálás a valószínűség szerint, szorzás az értékkel, majd az önrészek, a limitek és a díjkorrekciók alkalmazása). Ugyanebből az integrálásból még két mennyiség adódik. A probable maximum loss (PML, valószínűsíthető maximális kár) a választott ritkasághoz tartozó kár, jellemzően a 100, a 200 vagy az 500 éves visszatérési idejű eseményé, és a viszontbiztosító erre áraz. A kockázati díj az EAL-nek a költségekkel, a tőkével és a modellbizonytalansággal felbruttósított értéke; az egyik motor 1,6-os indikatív szorzóval számol.

Túllépési valószínűség és visszatérési idők

A T visszatérési idő nem menetrend, hanem valószínűség. A 100 éves visszatérési idejű esemény éves túllépési valószínűsége 1/T = 1%, és egy 30 éves futamidejű jelzáloghitel alatt annak esélye, hogy legalább egy ilyen esemény bekövetkezik, 1 − (1 − 0,01)^30, azaz mintegy 26%. A hivatalos árvízi térképek visszatérési idők rácsára közölnek elöntési kiterjedést és vízmélységet; a táblázat az ezekből adódó valószínűségeket, valamint a visszatérési időnként használt jellemző ártéri vízmélységet mutatja, amelyet ott alkalmazunk, ahol nincs címre vonatkozó vízmélység.

A valószínűségek számtani úton adódnak; a jellemző vízmélységek a Bytero tervezésimélység-táblájából származnak, a rögzítőpontok között log(T) szerint interpolálva.

Vízmélység-kár függvények

A vízmélység-kár függvény a kész padlószint fölötti vízmélységet képezi le az épület újjáépítési értékének elpusztult hányadára. A legtöbbet hivatkozott páneurópai készlet a JRC 2017-es, globális vízmélység-kár függvényeket tartalmazó adatbázisa (Huizinga, De Moel és Szewczyk), amely kontinensenként és épülethasználatonként ad meg görbét. A tégla- és panelállományra kárból kalibrált görbék sekély vízmélységnél jóval alacsonyabban futnak: a 2002-es elbai árvíz után kifizetett károkból származtatott német FLEMO-család nagyjából 2–6%-ot ad 21 cm alatt, 6–9%-ot 21 és 60 cm között, 9–12%-ot 61 és 100 cm között, 12–17%-ot 101 és 150 cm között, és 17–25%-ot e fölött, csak az épületre. A 2024. szeptemberi csehországi árvíz a biztosítóknak mintegy 19,7 milliárd CZK-ba került nagyjából 100 000 vagyonkárigény mellett, ami kárigényenként a szokásos biztosítási összeg 5–8%-a körül van, vagyis ugyanez a nagyságrend.

A görbék rögzítőpontjai a Bytero kármodelljéből származnak (lakossági, JRC európai, kereskedelmi és ipari görbék); a JRC-értékek Huizinga et al. 2017 szerintiek. A rögzítőpontok közötti értékek lineárisan interpoláltak.

Épület, ingóság és üzemszünet

A fenti görbék épületgörbék: a szerkezet újjáépítési értékének elvesztett hányadát adják meg. Az ingóságra külön biztosítási összeg és külön görbe vonatkozik, és az ingóság sekély vízmélységnél sérülékenyebb, mert a padlószinten álló bútor, háztartási gép és árukészlet jóval a falak előtt megy tönkre. A JRC kereskedelmi és ipari görbéje az ingóságot már az épület értékébe olvasztja, ami az egyik oka annak, hogy magasabbról indulnak, mint a lakossági görbe; a lakossági modellnek ezért a két biztosítási összeget – az épületre és az ingóságra szólót – külön kell kezelnie, hogy a csak épületre szóló szerződés ne fizessen rá arra az ingóságra, amelyre nincs fedezete.

Az üzemszünet (business interruption, BI) az a kár, amelynek nincs lakossági megfelelője: az elmaradt bruttó nyereség addig, amíg az ingatlan nem üzemeltethető. A lakossági szerződések ezt kis összegű, helyettesítő elhelyezésre szóló alsublimitként fedezik (egy háztartási szerződésben ez 10 000 EUR). Kereskedelmi kockázatoknál az állásidő a súlyossággal nő. Az egyik motor HAZUS-alapú helyreállítási modellje 17, 22 és 26 hónapot feltételez 1,2 m-ig, 2,4 m-ig, illetve ennél mélyebben elöntött kereskedelmi ingatlanra, 10, 14 és 18 hónapot ipari ingatlanra, totálkárnál 24, illetve 20 hónapot, a szolgáltatást pedig a kötvény maximális időszakában, alapértelmezés szerint 12 hónapban korlátozza. A biztosítási alap szándékosan figyelmen kívül hagyja azt a gazdasági visszapótlást, amellyel a makromodellek számolnak, mert az adott biztosított boltja akkor is zárva marad, bármit tesz is a tágabb gazdaság. Ugyanez a modell a földrengés miatti állásidőt a károsodási állapotból árazza: egy kiskereskedelmi ingatlan enyhe, közepes, kiterjedt és teljes károsodásánál 0,3, 3, 9, illetve 12 hónap.

Integrálás a visszatérési időkre

Maga a számítás rövid. A kár-túllépési görbét azokból a visszatérési időkből építjük fel, amelyeknél a cím elöntésre kerül, a hozzájuk tartozó kárhányadokból és egy száraz rögzítőpontból; a görbe alatti terület a valószínűségi tengelyen a várható éves kárhányad.

1. 1

   Az elöntést okozó visszatérési idők felsorolása

   A hivatalos térképekből vagy modellezett vízmélység-raszterből: például a Q10-nél és afölött elöntött, a Q5-nél száraz. A legnagyobb száraz visszatérési idő nulla kárnál rögzíti a görbét: itt p = 1/5 = 0,2, a kár 0.

2. 2

   A vízmélység leolvasása visszatérési időnként

   Címre vonatkozó vízmélység a raszterből, ahol van ilyen; egyébként a visszatérési időhöz tartozó jellemző ártéri vízmélység, a kimenetben ekként megjelölve, hogy az olvasó tudja, melyik alapot használtuk.

3. 3

   A padlószint levonása

   A vízmélység-raszterek a terep fölötti vizet mérik, a kárgörbék viszont a kész padlószinthez vannak viszonyítva. A lakossági földszinti padló a lábazaton és a küszöbön mintegy 0,30–0,45 m-rel a terepszint fölött ül, ezért az egyik motor óvatosan 0,25 m-t von le (a terepszinthez közeli kereskedelmi és ipari padlóknál 0,10 m-t). A második emeleti lakás ehhez két szintet, egyenként mintegy 3 m-t ad hozzá, és teljesen kiesik az árvízi integrálból.

4. 4

   A vízmélység átváltása kárhányadra

   Interpolálás a használati módhoz tartozó vízmélység-kár görbén. A használati mód választja ki a görbét: lakossági téglafalazat, kereskedelmi vagy ipari.

5. 5

   Integrálás trapézszabállyal a valószínűségi tengelyen

   A pontokat csökkenő p túllépési valószínűség szerint rendezve összegezzük a 0,5 × (kár_i + kár_i+1) × (p_i − p_i+1) tagokat. Végül egy p = 0 pontot is hozzá kell adni a legritkább kárhányaddal, hogy a legritkább térképezett visszatérési időnél ritkább események ne számítsanak csendben ártalmatlannak.

6. 6

   Szorzás a kitettséggel, majd kalibrálás és díjkorrekció

   Az eredmény az épületérték egységére vetített ráta. Az újjáépítési értékkel szorozva euró/év lesz belőle; a veszélynemenkénti tapasztalati szorzó a megfigyelt károkhoz köti a modellt; a díjkorrekció pedig kockázati díjjá alakítja. A 100 éves visszatérési idejű PML egyszerűen a Q100-nál vett kárhányad és az érték szorzata.

Számpélda: ártéri ház a Q10-től a Q500-ig

Egy 200 000 EUR újjáépítési értékű, téglafalazatú ház olyan ártéren áll, amely az 5 éves visszatérési idejű eseménynél száraz, a 10 éves visszatérési idejűtől kezdve viszont elöntött. Címre vonatkozó raszter nincs, ezért a jellemző vízmélységek érvényesek, csökkentve a 0,25 m-es padlóküszöbbel. A táblázat végigveszi a hat visszatérési időt és a farkot.

A hozzájárulások két tizedesjegyre kerekítve szerepelnek; a kerekítés nélküli összeg 6,22‰. A görbe és a küszöbök a Bytero kármodelljéből származnak.

A példa olvasata, és mi mozgatja a számot

Három dolog tűnik szembe. A gyakori, sekély események (a Q10-től a Q50-ig) a 6,22‰-ből 3,59‰-et, azaz a várható kár 58%-át adják, noha külön-külön kevés kárt okoznak; a várható kárt az uralja, ami gyakran történik, nem a legrosszabb eset. A Q500 feletti farok mindössze 0,44‰-et tesz hozzá. A PML pedig egészen más természetű: a Q100-nál az egyetlen eseményből származó kár 0,112 × 200 000 = 22 400 EUR, a Q500-nál pedig 44 000 EUR, ami az éves várható kár több mint hétszerese. A táblázat ugyanezen a görbén számítva mutatja azokat a tényezőket, amelyek elmozdítják az eredményt.

Újraszámítva a számpélda görbéjéből; a lakásarány, a kalibrációs szorzó és a pluviális küszöbérték a Bytero kármodelljének állandói.

A várható kártól a kockázati díjig

Euróban az alapeset 6,22‰ × 200 000 EUR = 1 244 EUR évente kalibráció előtt, 510 EUR a 0,41-es folyamiárvíz-szorzó után, és 816 EUR évente kockázati díjként, 1,6-os díjkorrekcióval. Ez a díjkorrekció fedezi a szerzési és igazgatási költségeket, a farok tőkeköltségét és a modell saját bizonytalanságát; a bejelentett tarifa ehhez még a biztosító árrését és a veszélynemek közötti keresztfinanszírozást adja hozzá. Egy állomány kockázati díja az EAL-jeinek összege szorozva a díjkorrekcióval, ezért a címszintű EAL az állományszintű kép építőköve, és ezért számít ennyire a címszintű veszély: ugyanaz a ház a folyótól 40 m-rel távolabb már a Q100 elöntési kiterjedésén kívül eshet, és a várható kár tizedét viselheti.

A kalibráció választja el a veszély és a sérülékenység puszta szorzatát attól a modelltől, amelyet az underwriter használni tud. Egy 2026-os újrakalibrálás 993 olyan ingatlanon validálta a fizikáját, amelyekhez a közzétett tarifákból rekonstruált tényleges díj tartozott, és azt találta, hogy a korábbi, évi 0,60‰-es országos célértéke 4–6-szorosa volt a három független forrásból adódó szintnek, továbbá hogy az ingatlanok 45%-ánál az elemikár-EAL meghaladta a teljes, minden veszélynemre szóló díjat, ami szerkezetileg lehetetlen. A javítás abban állt, hogy előbb a fizikát tették rendbe (a téglafalazati görbét, a padlóküszöböt, a földszinti arányt), majd veszélynemenként egy-egy maradékszorzót alkalmaztak, amelyet országos kársorozatokból és szomszédos piaci káradatokból vezettek le, nem pedig magából a modellből. Az újrakalibrálás után az országos átlag évi 0,185‰-en állt be, egy függetlenül levezetett, 0,10–0,19‰-es sávon belül, az átlagos EAL az átlagos tényleges díj 32%-a lett, a medián EAL pedig évi 17 EUR egy 193 000 EUR értékű otthonra. A kereskedelmi katasztrófamodellek ugyanarra az állományra szolgáltatónként 2–3-szoros eltérést mutatnak, ezért a független tapasztalattól mintegy 2,5-szeresen belül maradó fizikai eredmény a szokásos kiindulópont, nem kudarc.

A Bytero a veszélynemenkénti veszélygörbét, a vízmélység-kár integrálást, a tapasztalati kalibrációt és a kockázati díjat egyetlen címre az itt leírt módon számítja ki, minden állandót megnevezett literálként, az underwriter számára olvashatóan; a termék a Bytero Shield, a piaconkénti elérhetőség pedig a Lefedettség oldalon található.

Kérdések